Задача №20124

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Дано: равнобедренная трапеция с периметром $P=200$ и площадью $S=1500\text{,}$ в неё вписана окружность.

1. Стороны трапеции. Если в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим основания $a>b\text{,}$ боковые стороны (равные, трапеция равнобедренная) $c\text{.}$ Тогда

Периметр: $a+b+2c=200\text{,}$ то есть $2c+2c=200\text{,}$ откуда $c=50$ и $a+b=100\text{.}$

2. Высота. Площадь трапеции $S=\frac{a+b}{2}\cdot h\text{,}$ значит

3. Основания по отдельности. Опустив высоты из вершин меньшего основания, для равнобедренной трапеции получаем

Подставляем: $50^2=30^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2\text{,}$ то есть $2500-900=1600\text{,}$ откуда $\frac{a-b}{2}=40$ и $a-b=80\text{.}$ Вместе с $a+b=100$ находим $a=90\text{,}$ $b=10\text{.}$

4. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O\text{.}$ Треугольники, отсекаемые диагоналями на меньшем и большем основаниях, подобны с коэффициентом $\frac{b}{a}=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}\text{.}$ Значит расстояния от $O$ до оснований относятся как $b:a=1:9\text{,}$ а их сумма равна высоте $h=30\text{.}$ Поэтому расстояние до меньшего основания

Ответ: $3\text{.}$