Задача №20122

Постройте график функции

$y=|x^2-6x+5|\text{.}$

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Построение графика.

Рассмотрим подмодульное выражение $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\text{.}$ Это парабола ветвями вверх с нулями $x=1$ и $x=5$ и вершиной в точке $\left(3;9-18+5\right)=(3;-4)\text{.}$

Модуль отражает вверх ту часть графика, где выражение отрицательно, то есть на промежутке $1<x<5\text{:}$

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x+5,& x\le 1\text{или}x\ge 5,\\ -(x^2-6x+5),& 1<x<5.\end{array}$$

Получаем «арку»: на отрезке $[1;5]$ график поднимается от $0$ (при $x=1$) до максимума $|-4|=4$ (при $x=3$) и снова опускается до $0$ (при $x=5$); вне отрезка $[1;5]$ обе ветви уходят вверх в $+\infty \text{.}$

Пересечения с прямой $y=k$ (параллельной оси абсцисс):

• $k<0$ — общих точек нет;
• $k=0$ — $2$ точки ($x=1$ и $x=5$);
• $0<k<4$ — левая ветвь даёт $1$ точку, арка даёт $2$ точки, правая ветвь — $1$ точку, итого $4$ точки;
• $k=4$ — вершина арки касается прямой: $1$ точка от арки плюс $2$ на ветвях, итого $3$ точки;
• $k>4$ — только $2$ точки на внешних ветвях.

Наибольшее число общих точек достигается при $0<k<4$ и равно $4\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$