Постройте график функции y=((x^(2) +6,25)(x+1))/(- 1-x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощаем формулу функции. Область определения: знаменатель -1-x!= 0, то есть x!= -1. Заметим, что -1-x=-(x+1), поэтому при x!= -1 y=((x^(2)+6,25)(x+1))/(-(x+1))=-(x^(2)+6,25)=-x^(2)-6,25. Строим график. Это парабола y=-x^(2)-6,25 с ветвями вниз и вершиной (0;-6,25), из которой выколота точка с абсциссой x=-1, то есть точка (-1;-7,25) (при x=-1: y=-1-6,25=-7,25). Ищем значения k. Прямая y=kx и график имеют общие точки там, где kx=-x^(2)-6,25 x^(2)+kx+6,25=0, x!= -1. Дискриминант: D=k^(2)-25. Если D<0, то есть -5<k<5, общих точек нет. Если D=0, то есть k=+- 5, уравнение имеет единственный корень x=-(k)/(2): при k=5 это x=-2,5, при k=-5 это x=2,5. Оба корня отличны от -1, значит, общая точка ровно одна. Подходит: k=5 и k=-5. Если D>0, корней два, и ровно одна общая точка будет только тогда, когда один из корней равен выколотому значению x=-1. Подставим x=-1: 1-k+6,25=0, откуда k=7,25. Тогда x^(2)+7,25x+6,25=0 имеет корни x=-1 (выколот) и x=-6,25 — остаётся ровно одна общая точка. Подходит: k=7,25. При остальных k с D>0 оба корня допустимы и общих точек две. Ответ: k=-5; k=5; k=7,25.

-5; 5; 7,25