Задача №19094

Постройте график функции

$y=\frac{(x^2+6,25)(x+1)}{-1-x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упрощаем формулу функции.

Область определения: знаменатель $-1-x\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne -1\text{.}$

Заметим, что $-1-x=-(x+1)\text{,}$ поэтому при $x\ne -1$

$$y=\frac{(x^2+6,25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+6,25)=-x^2-6,25.$$

2. Строим график.

Это парабола $y=-x^2-6,25$ с ветвями вниз и вершиной $(0;-6,25)\text{,}$ из которой выколота точка с абсциссой $x=-1\text{,}$ то есть точка $(-1;-7,25)$ (при $x=-1\text{:}$ $y=-1-6,25=-7,25$).

3. Ищем значения $k\text{.}$

Прямая $y=kx$ и график имеют общие точки там, где

$$kx=-x^2-6,25⟺x^2+kx+6,25=0,x\ne -1.$$

Дискриминант: $D=k^2-25\text{.}$

• Если $D<0\text{,}$ то есть $-5<k<5\text{,}$ общих точек нет.
• Если $D=0\text{,}$ то есть $k=\pm 5\text{,}$ уравнение имеет единственный корень $x=-\frac{k}{2}\text{:}$ при $k=5$ это $x=-2,5\text{,}$ при $k=-5$ это $x=2,5\text{.}$ Оба корня отличны от $-1\text{,}$ значит, общая точка ровно одна. Подходит: $k=5$ и $k=-5\text{.}$
• Если $D>0\text{,}$ корней два, и ровно одна общая точка будет только тогда, когда один из корней равен выколотому значению $x=-1\text{.}$ Подставим $x=-1\text{:}$ $1-k+6,25=0\text{,}$ откуда $k=7,25\text{.}$ Тогда $x^2+7,25x+6,25=0$ имеет корни $x=-1$ (выколот) и $x=-6,25$ — остаётся ровно одна общая точка. Подходит: $k=7,25\text{.}$

При остальных $k$ с $D>0$ оба корня допустимы и общих точек две.

Ответ: $k=-5\text{;}$ $k=5\text{;}$ $k=7,25\text{.}$