Задача №20112

Решите неравенство

$$x\le \frac{9}{x}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю (при этом $x\ne 0$):

$$x-\frac{9}{x}\le 0⟺\frac{x^2-9}{x}\le 0⟺\frac{(x-3)(x+3)}{x}\le 0.$$

Нули числителя: $x=-3$ и $x=3$ (входят, неравенство нестрогое). Ноль знаменателя: $x=0$ (не входит, $x\ne 0$).

Методом интервалов определяем знак дроби на промежутках, разбитых точками $-3,0,3\text{:}$

• $x<-3\text{:}$ знак $-$ (например, $x=-4\text{:}$ $\frac{7}{-4}<0$) — подходит;
• $-3<x<0\text{:}$ знак $+$ (например, $x=-1\text{:}$ $\frac{-8}{-1}>0$) — не подходит;
• $0<x<3\text{:}$ знак $-$ (например, $x=1\text{:}$ $\frac{-8}{1}<0$) — подходит;
• $x>3\text{:}$ знак $+$ (например, $x=4\text{:}$ $\frac{7}{4}>0$) — не подходит.

Выбираем промежутки, где дробь $\le 0\text{,}$ добавляя $x=-3$ и $x=3$ и исключая $x=0\text{.}$

Ответ: $(-\infty ;-3]\cup (0;3]\text{.}$