Задача №20104

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=3\text{,}$ $CK=19\text{.}$

Дано: параллелограмм $ABCD\text{,}$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{,}$ $BK=3\text{,}$ $CK=19\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABK$ равнобедренный.

Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$

В параллелограмме $AD\parallel BC\text{,}$ а $AK$ — секущая, поэтому $\angle KAD=\angle AKB$ как накрест лежащие углы.

Отсюда $\angle BAK=\angle AKB\text{,}$ значит треугольник $ABK$ равнобедренный, и $AB=BK=3\text{.}$

Шаг 2. Стороны параллелограмма.

В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD=3\text{,}$ $BC=AD=22\text{.}$

Шаг 3. Периметр.

Ответ: 50.