Задача №20103

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC\text{,}$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN\text{,}$ если $MN=14\text{,}$ $AC=21\text{,}$ $NC=10\text{.}$

Прямая $MN\parallel AC\text{,}$ поэтому в треугольниках $BMN$ и $BAC\text{:}$

• угол $B$ — общий;
• $\angle BMN=\angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB\text{.}$

Значит, треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам.

Из подобия отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия:

Сторона $BN$ соответствует стороне $BC\text{,}$ поэтому

Так как $BC=BN+NC=BN+10\text{,}$ получаем уравнение:

Отсюда $3\cdot BN=2\cdot (BN+10)\text{,}$ то есть $3BN=2BN+20\text{,}$ значит $BN=20\text{.}$

Ответ: $BN=20\text{.}$