Задача №19996

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=12\text{,}$ $CK=16\text{.}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, поэтому $AD\parallel BC\text{.}$

Прямая $AK$ пересекает эти параллельные прямые, значит $\angle DAK=\angle AKB$ как накрест лежащие углы при $AD\parallel BC$ и секущей $AK\text{.}$

По условию $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ поэтому $\angle DAK=\angle BAK\text{.}$

Отсюда $\angle BAK=\angle AKB\text{,}$ то есть треугольник $ABK$ равнобедренный, и $AB=BK=12\text{.}$

Сторона $BC=BK+CK=12+16=28\text{.}$

Периметр параллелограмма:

Ответ: $80\text{.}$