Постройте график функции y=(4|x|-1)/(|x|-4x^(2)). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Область определения и упрощение. Знаменатель: |x|-4x^2 = |x|-4|x|^2 = |x|(1-4|x|). Он равен нулю при x=0 и при |x|=14, то есть при x=+-14. Значит, область определения: x!= 0,x!= +-14. Числитель: 4|x|-1 = -(1-4|x|). Тогда при всех допустимых x y=(4|x|-1)/(|x|-4x^2)=(-(1-4|x|))/(|x|(1-4|x|))=-(1)/(|x|). Построение графика. График функции y=-(1)/(|x|) состоит из двух ветвей гиперболы: при x>0: y=-(1)/(x) — ветвь в четвёртой четверти; при x<0: y=(1)/(x) — ветвь в третьей четверти (симметрична первой относительно оси Oy). Из графика выколоты точки, не входящие в область определения: при x=14 имеем y=-4, при x=-14 имеем y=-4. Итак, выколоты точки (14;-4) и (-14;-4). Прямая y=kx не имеет с графиком общих точек. Прямая y=kx проходит через начало координат. k=0: прямая y=0 (ось абсцисс). Так как -(1)/(|x|)<0 при всех допустимых x, общих точек нет. k>0: ищем пересечение с ветвью x<0: kx=(1)/(x)=>x^2=(1)/(k)=>x=-(1)/(sqrt(k)) — решение существует при любом k>0. С ветвью x>0 пересечений нет (kx>0, а y<0). Общих точек не будет только если найденная точка выколота: -(1)/(sqrt(k))=-14=>sqrt(k)=4=>k=16. Действительно, прямая y=16x проходит через выколотую точку (-14;-4) и других общих точек с графиком не имеет. k<0: аналогично, пересечение возможно только с ветвью x>0: kx=-(1)/(x)=>x^2=-(1)/(k)=>x=(1)/(sqrt(-k)) — решение существует при любом k<0. Точка выколота при (1)/(sqrt(-k))=14=>-k=16=>k=-16: прямая y=-16x проходит через выколотую точку (14;-4). При всех остальных k прямая пересекает график. Ответ: k=-16, k=0, k=16.

k = -16; k = 0; k = 16