Задача №19186

Постройте график функции

$y=\frac{4|x|-1}{|x|-4x^2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

1. Область определения и упрощение.

Знаменатель: $|x|-4x^2=|x|-4|x{|}^2=|x|(1-4|x|)\text{.}$ Он равен нулю при $x=0$ и при $|x|=\frac{1}{4}\text{,}$ то есть при $x=\pm \frac{1}{4}\text{.}$ Значит, область определения: $x\ne 0,x\ne \pm \frac{1}{4}\text{.}$

Числитель: $4|x|-1=-(1-4|x|)\text{.}$ Тогда при всех допустимых $x$

$$y=\frac{4|x|-1}{|x|-4x^2}=\frac{-(1-4|x|)}{|x|(1-4|x|)}=-\frac{1}{|x|}.$$

2. Построение графика.

График функции $y=-\frac{1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы:

• при $x>0\text{:}$ $y=-\frac{1}{x}$ — ветвь в четвёртой четверти;
• при $x<0\text{:}$ $y=\frac{1}{x}$ — ветвь в третьей четверти (симметрична первой относительно оси $Oy$).

Из графика выколоты точки, не входящие в область определения: при $x=\frac{1}{4}$ имеем $y=-4\text{,}$ при $x=-\frac{1}{4}$ имеем $y=-4\text{.}$ Итак, выколоты точки $\left(\frac{1}{4};-4\right)$ и $\left(-\frac{1}{4};-4\right)\text{.}$

3. Прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат.

• $k=0\text{:}$ прямая $y=0$ (ось абсцисс). Так как $-\frac{1}{|x|}<0$ при всех допустимых $x\text{,}$ общих точек нет.
• $k>0\text{:}$ ищем пересечение с ветвью $x<0\text{:}$ $kx=\frac{1}{x}\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}\Rightarrow x=-\frac{1}{\sqrt{k}}$ — решение существует при любом $k>0\text{.}$ С ветвью $x>0$ пересечений нет ($kx>0\text{,}$ а $y<0$). Общих точек не будет только если найденная точка выколота: $-\frac{1}{\sqrt{k}}=-\frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt{k}=4\Rightarrow k=16\text{.}$ Действительно, прямая $y=16x$ проходит через выколотую точку $\left(-\frac{1}{4};-4\right)$ и других общих точек с графиком не имеет.
• $k<0\text{:}$ аналогично, пересечение возможно только с ветвью $x>0\text{:}$ $kx=-\frac{1}{x}\Rightarrow x^2=-\frac{1}{k}\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{-k}}$ — решение существует при любом $k<0\text{.}$ Точка выколота при $\frac{1}{\sqrt{-k}}=\frac{1}{4}\Rightarrow -k=16\Rightarrow k=-16\text{:}$ прямая $y=-16x$ проходит через выколотую точку $\left(\frac{1}{4};-4\right)\text{.}$

При всех остальных $k$ прямая пересекает график.

Ответ: $k=-16\text{,}$ $k=0\text{,}$ $k=16\text{.}$