Задача №20094

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF\text{,}$ если $AD=48\text{,}$ $BC=16\text{,}$ $CF:DF=5:3\text{.}$

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=48$ и $BC=16\text{.}$ Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F\text{,}$ причём $CF:DF=5:3\text{.}$

Вспомогательное построение. Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $AB\text{;}$ пусть она пересекает основание $AD$ в точке $G\text{,}$ а отрезок $EF$ — в точке $H\text{.}$

Шаг 1. Четырёхугольник $ABCG$ — параллелограмм (по построению $CG\parallel AB\text{,}$ а $BC\parallel AG$ как части параллельных оснований). Значит,

Шаг 2. Четырёхугольник $AEHG$ — тоже параллелограмм: $EH\parallel AG$ (так как $EF\parallel AD$) и $AE\parallel GH$ (так как $AB\parallel CG$). Поэтому

Шаг 3. В треугольнике $CGD$ отрезок $HF$ параллелен стороне $GD$ (обе прямые параллельны основанию $AD$). Значит, $△CHF\sim △CGD\text{,}$ откуда

Тогда $HF=32\cdot \frac{5}{8}=20.$

Шаг 4. Точка $H$ лежит на отрезке $EF\text{,}$ поэтому

Проверка (формула отсечения при делении боковой стороны): $EF=\frac{AD\cdot CF+BC\cdot DF}{CF+DF}=\frac{48\cdot 5+16\cdot 3}{8}=\frac{288}{8}=36.$

Ответ: $36\text{.}$