Задача №19827

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=39$ и $CD=12$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$ причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Дано: вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD\text{,}$ $AB=39\text{,}$ $CD=12\text{;}$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$ $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Радиус окружности $R\text{.}$

1. Угол между диагоналями через дуги. Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме заключённых между ними дуг. Диагонали $AC$ и $BD$ высекают дуги $AB$ и $CD\text{,}$ поэтому

2. Вспомогательная точка. Отметим на окружности точку $E$ так, чтобы дуга $AE$ (не содержащая $B$) была равна дуге $CD\text{.}$ Тогда равным дугам отвечают равные хорды:

Точки $E,A,B$ идут по окружности подряд, значит дуга $EB\text{,}$ проходящая через $A\text{,}$ равна

3. Угол треугольника $EAB\text{.}$ Вписанный угол $\angle EAB$ опирается на дугу $EB\text{,}$ не содержащую вершину $A\text{,}$ то есть на дугу $360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }\text{.}$ Поэтому

4. Теорема косинусов в треугольнике $EAB\text{.}$ Стороны $AE=12\text{,}$ $AB=39\text{,}$ угол между ними $120^{\circ }\text{:}$

5. Радиус. Хорда $EB$ стягивает дугу $120^{\circ }\text{,}$ значит вписанный угол, опирающийся на неё, равен $60^{\circ }\text{,}$ и по обобщённой теореме синусов

Отсюда

Ответ: $R=3\sqrt{79}\text{.}$