Задача №20079

Постройте график функции

$$y=\frac{(0,25x^2-0,5x)\cdot |x|}{x-2}.$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

1. Упростим формулу функции.

В числителе вынесем общий множитель:

$$0,25x^2-0,5x=0,25x(x-2).$$

Тогда

$$y=\frac{0,25x(x-2)\cdot |x|}{x-2}.$$

При $x\ne 2$ дробь $\frac{x-2}{x-2}=1\text{,}$ поэтому

$$y=0,25x|x|,x\ne 2.$$

2. Раскроем модуль.

$$y=\{\begin{array}{ll}0,25x^2,& x\ge 0,x\ne 2,\\ -0,25x^2,& x<0.\end{array}$$

При $x\ge 0$ — правая ветвь параболы $y=0,25x^2\text{;}$ при $x<0$ — ветвь параболы $y=-0,25x^2\text{,}$ направленная вниз. В точке $x=0$ обе ветви дают $y=0\text{,}$ график непрерывен и проходит через начало координат.

3. Выколотая точка.

Точка $x=2$ исключена из области определения. При $x=2$ по формуле $y=0,25\cdot 2\cdot |2|=1\text{,}$ значит на графике «выколота» точка $(2;1)\text{.}$

4. Анализ пересечений с прямой $y=m\text{.}$

Функция $y=0,25x|x|$ строго возрастает на всей оси (при $x\ge 0$ производная $0,5x\ge 0\text{,}$ при $x<0$ производная $-0,5x>0$) и принимает все действительные значения. Поэтому каждое значение $y$ достигается ровно при одном $x\text{.}$

Значение $y=1$ достигается только при $x=2$ (из $0,25x|x|=1$ следует $x|x|=4\text{,}$ то есть $x^2=4,x=2$ для $x\ge 0\text{;}$ при $x<0$ левая часть отрицательна). Но $x=2$ выколото, поэтому значение $y=1$ графиком не принимается.

Следовательно, прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки только при $m=1\text{.}$

Ответ: $m=1\text{.}$