Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Задача №20072: Текстовые задачи

Пусть $v$ (км/ч) — собственная скорость баржи. Тогда скорость по течению равна $v + 5,$ а против течения — $v - 5$ (км/ч).

Время движения по течению: $\frac{80}{v + 5}$ ч, против течения: $\frac{60}{v - 5}$ ч. По условию суммарное время равно $10$ ч:

\frac{80}{v + 5} + \frac{60}{v - 5} = 10.

Умножим обе части на $(v + 5) (v - 5) :$

80 (v - 5) + 60 (v + 5) = 10 (v^{2} - 25) .

80 v - 400 + 60 v + 300 = 10 v^{2} - 250,

140 v - 100 = 10 v^{2} - 250.

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $10 :$

10 v^{2} - 140 v - 150 = 0 \Rightarrow v^{2} - 14 v - 15 = 0.

По теореме Виета (или через дискриминант) корни $v = 15$ и $v = - 1 .$ Отрицательный корень не подходит по смыслу, поэтому $v = 15 .$

Проверка: $\frac{80}{15 + 5} + \frac{60}{15 - 5} = \frac{80}{20} + \frac{60}{10} = 4 + 6 = 10$ ч. Верно.

Ответ: собственная скорость баржи $15$ км/ч.

Время движения по течению: $\frac{80}{v + 5}$ ч, против течения: $\frac{60}{v - 5}$ ч. По условию суммарное время равно $10$ ч:

\frac{80}{v + 5} + \frac{60}{v - 5} = 10.

Умножим обе части на $(v + 5) (v - 5) :$

80 (v - 5) + 60 (v + 5) = 10 (v^{2} - 25) .

80 v - 400 + 60 v + 300 = 10 v^{2} - 250,

140 v - 100 = 10 v^{2} - 250.

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $10 :$

10 v^{2} - 140 v - 150 = 0 \Rightarrow v^{2} - 14 v - 15 = 0.

Проверка: $\frac{80}{15 + 5} + \frac{60}{15 - 5} = \frac{80}{20} + \frac{60}{10} = 4 + 6 = 10$ ч. Верно.

Ответ: собственная скорость баржи $15$ км/ч.