Задача №20059

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD\text{,}$ если $BC=12\text{,}$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $115^{\circ }$ и $95^{\circ }\text{.}$

Ключевая идея. Точка $M$ — середина стороны $AD\text{,}$ поэтому $MA=MD=\frac{1}{2}AD\text{.}$ По условию $M$ равноудалена от всех вершин, значит

Следовательно, все четыре вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R=\frac{1}{2}AD\text{.}$ Так как $A$ и $D$ диаметрально противоположны (обе на расстоянии $R$ от центра $M\text{,}$ лежащего на отрезке $AD$), отрезок $AD$ — диаметр этой окружности.

Прямые углы. Вписанный угол, опирающийся на диаметр $AD\text{,}$ прямой, поэтому

Разбиваем углы четырёхугольника диагоналями. В выпуклом четырёхугольнике диагонали $BD$ и $CA$ проходят внутри соответствующих углов:

• $\angle B=\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC\text{,}$ откуда $\angle DBC=115^{\circ }-90^{\circ }=25^{\circ }\text{;}$
• $\angle C=\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD\text{,}$ откуда $\angle BCA=95^{\circ }-90^{\circ }=5^{\circ }\text{.}$

Считаем дуги. Пусть точки идут по окружности в порядке $A,B,C,D\text{;}$ дуги обозначим $⌣AB=a\text{,}$ $⌣BC=b\text{,}$ $⌣CD=c\text{,}$ причём $a+b+c=180^{\circ }$ (полуокружность от $A$ до $D$).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

• $\angle DBC$ опирается на дугу $CD\text{:}$ $\frac{c}{2}=25^{\circ }\Rightarrow c=50^{\circ }\text{;}$
• $\angle BCA$ опирается на дугу $AB\text{:}$ $\frac{a}{2}=5^{\circ }\Rightarrow a=10^{\circ }\text{.}$

Тогда $b=180^{\circ }-10^{\circ }-50^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Находим $AD\text{.}$ Хорда $BC$ стягивает дугу $b=120^{\circ }\text{,}$ поэтому

Из $R\sqrt{3}=12$ получаем $R=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{,}$ значит

Ответ: $AD=8\sqrt{3}\text{.}$