Задача №20051

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

2) Все квадраты имеют равные площади.

3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Проверяем каждое высказывание.

1) «Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.»

Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Значит, такой прямоугольник существует. Высказывание истинно.

2) «Все квадраты имеют равные площади.»

Площадь квадрата $S=a^2$ зависит от длины стороны $a\text{.}$ У квадратов со стороной $1$ и стороной $2$ площади $1$ и $4$ соответственно — они разные. Высказывание ложно.

3) «Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.»

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{.}$ Если бы все три угла были больше $60^{\circ }\text{,}$ их сумма превысила бы $3\cdot 60^{\circ }=180^{\circ }\text{,}$ что невозможно. Значит, хотя бы один угол не превышает $60^{\circ }\text{.}$ Высказывание истинно.

Истинные высказывания — 1 и 3.

Ответ: 13.