Задача №20049

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть $BCDA$ — равнобедренная трапеция с меньшим основанием $BC=b\text{,}$ большим основанием $AD=a$ и боковыми сторонами $AB=CD=c\text{.}$

1. Используем условие вписанной окружности. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Для трапеции это даёт

Периметр равен $40\text{:}$ $a+b+2c=40\text{.}$ Подставляя $a+b=2c\text{,}$ получаем $4c=40\text{,}$ то есть $c=10$ и $a+b=20\text{.}$

2. Находим высоту. Площадь трапеции $S=\frac{a+b}{2}\cdot h\text{.}$ Так как $\frac{a+b}{2}=10$ и $S=80\text{,}$ то

3. Находим основания. Опустим высоту из вершины меньшего основания; её проекция на большее основание равна $\frac{a-b}{2}\text{.}$ По теореме Пифагора для боковой стороны:

Значит $a-b=12\text{.}$ Вместе с $a+b=20$ получаем $a=16\text{,}$ $b=4\text{.}$

4. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания. Пусть диагонали пересекаются в точке $O\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны с коэффициентом $\frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\text{.}$

Обозначим расстояние от $O$ до меньшего основания $BC$ через $x\text{,}$ а до большего основания $AD$ — через $y\text{.}$ Это высоты подобных треугольников $BOC$ и $DOA\text{,}$ поэтому $\frac{x}{y}=\frac{1}{4}\text{,}$ то есть $y=4x\text{.}$ При этом $x+y=h=8\text{,}$ откуда

Ответ: $1,6\text{.}$