Задача №20041

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AK=6\text{,}$ а сторона $AC$ в 1,5 раза больше стороны $BC\text{.}$

Точки $B\text{,}$ $K\text{,}$ $P\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности, значит четырёхугольник $KBCP$ — вписанный.

У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

Угол $AKP$ — смежный с углом $BKP$ (точка $K$ лежит на стороне $AB$), поэтому

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB\text{:}$ угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB\text{.}$ Значит, треугольники подобны по двум углам:

Из подобия соответственные стороны пропорциональны (соответствие вершин $A\leftrightarrow A\text{,}$ $K\leftrightarrow C\text{,}$ $P\leftrightarrow B$):

По условию $AC=1,5BC$ и $AK=6\text{,}$ поэтому

Ответ: $4\text{.}$