Задача №20040

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD\text{,}$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30^{\circ }$ и $135^{\circ }\text{,}$ а $CD=17\text{.}$

В трапеции $ABCD$ основания — $BC$ и $AD$ ($BC\parallel AD$), боковые стороны — $AB$ и $CD\text{.}$

Высота трапеции. Опустим перпендикуляры $BH$ и $CK$ на прямую $AD\text{.}$ Тогда $BH=CK=h$ — высота трапеции.

Из стороны $CD\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ углы $BCD$ и $CDA$ — односторонние, значит

В прямоугольном треугольнике $CKD$ ($\angle CKD=90^{\circ }$):

Из стороны $AB\text{.}$ Аналогично $\angle BAD=180^{\circ }-\angle ABC=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }\text{,}$ поэтому острый угол между $AB$ и прямой $AD$ равен $\angle BAH=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BHA$ ($\angle BHA=90^{\circ }$):

Приравниваем высоты. $BH=CK\text{,}$ значит

Ответ: $AB=17\sqrt{2}\text{.}$