Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Задача №20035: Геометрические задачи на вычисление

Пусть в прямоугольном треугольнике катет $a = 24,$ гипотенуза $c = 51,$ а искомая высота, проведённая к гипотенузе, равна $h .$

1. Найдём второй катет $b$ по теореме Пифагора:

b = c^{2} - a^{2} = 5 1^{2} - 2 4^{2} = 2601 - 576 = 2025 = 45.

2. Приравняем два выражения для площади треугольника.

Площадь можно посчитать через катеты (они же основание и высота прямого угла):

S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 45 = 540.

Та же площадь через гипотенузу и высоту к ней:

S = \frac{1}{2} c h = \frac{1}{2} \cdot 51 \cdot h .

3. Найдём $h :$

\frac{1}{2} \cdot 51 \cdot h = 540 \Rightarrow h = \frac{2 \cdot 540}{51} = \frac{1080}{51} = \frac{360}{17} .

Ответ: $h = \frac{360}{17} .$