Задача №20034

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Обозначим половины диагоналей $OA=a$ и $OB=b\text{.}$ Тогда сторона ромба $AB=\sqrt{a^2+b^2}$ (из прямоугольного треугольника $AOB$ с прямым углом при $O$).

Расстояние от $O$ до стороны. Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB$ — это высота прямоугольного треугольника $AOB\text{,}$ проведённая к гипотенузе. Её длина равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

Используем данную диагональ. Пусть диагональ, равная $40\text{,}$ — это $AC\text{,}$ тогда $a=OA=20\text{.}$ Подставляем:

Возводим в квадрат: $4b^2=400+b^2\text{,}$ то есть $3b^2=400\text{,}$ откуда $b=\frac{20}{\sqrt{3}}\text{.}$

Находим углы. Диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике $AOB\text{:}$

значит $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ а угол ромба $\angle A=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Противоположные углы ромба равны, а соседние — в сумме дают $180^{\circ }\text{,}$ поэтому $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Проверка. При $a=20,b=20/\sqrt{3}\text{:}$ $\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{20\cdot 20/\sqrt{3}}{\sqrt{400+400/3}}=\frac{400/\sqrt{3}}{\sqrt{1600/3}}=\frac{400/\sqrt{3}}{40/\sqrt{3}}=10$ — совпадает с условием. Если бы диагональ $40$ была второй ($b=20$), из симметрии получились бы те же углы $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$

Ответ: $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$