Задача №19833

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$ Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой $O$ пополам, поэтому $O$ равноудалена от всех четырёх сторон — расстояние от $O$ до стороны равно радиусу вписанной окружности: $r=14\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB\text{:}$ его катеты — половины диагоналей, а гипотенуза $AB$ — сторона ромба. Расстояние от $O$ до стороны $AB$ — это высота $OH\text{,}$ опущенная из вершины прямого угла $O$ на гипотенузу, значит $OH=14\text{.}$

Пусть половина известной диагонали $AC$ равна $AO=\frac{56}{2}=28\text{,}$ а половина второй диагонали равна $OB=b\text{.}$ Тогда $AB=\sqrt{28^2+b^2}\text{,}$ а высота из прямого угла

Отсюда $2b=\sqrt{784+b^2}\text{,}$ т.е. $4b^2=784+b^2\text{,}$ $3b^2=784\text{,}$ $b=\frac{28}{\sqrt{3}}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём угол $OAB$ (половину угла ромба при вершине $A$):

значит $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ и угол ромба $\angle A=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Соседний угол ромба $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ (сумма углов при одной стороне равна $180^{\circ }$).

Проверка. Сторона $AB=\sqrt{28^2+{\left(\frac{28}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\frac{56}{\sqrt{3}}\text{;}$ высота ромба $h=AB\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{56}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=28\text{,}$ а $r=\frac{h}{2}=14$ — совпадает с условием.

Ответ: углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$