Задача №19770

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, а $O$ — центр вписанной в ромб окружности, поэтому расстояние от $O$ до любой стороны одинаково и равно радиусу $r=19\text{.}$

Пусть данная диагональ равна $76\text{,}$ тогда её половина $OA=\frac{76}{2}=38\text{.}$

Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB\text{;}$ по условию $OH=19\text{.}$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$ (прямой угол при $H$). Диагональ $AC$ делит угол $A$ ромба пополам, поэтому $\angle OAH=\frac{\angle A}{2}\text{.}$

Из треугольника $OHA\text{:}$

Значит $\angle OAH=30^{\circ }\text{,}$ откуда $\angle A=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Соседние углы ромба в сумме дают $180^{\circ }\text{,}$ поэтому второй угол равен $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Ответ: углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$