Задача №20031

Постройте график функции

$y=2-\frac{x-5}{x^2-5x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.

1. Упрощаем формулу. Разложим знаменатель дроби: $x^2-5x=x(x-5)\text{.}$ Тогда

$$\frac{x-5}{x^2-5x}=\frac{x-5}{x(x-5)}=\frac{1}{x}.$$

Сокращение возможно при условии $x-5\ne 0\text{,}$ а сама дробь определена при $x\ne 0\text{.}$ Значит, область определения: $x\ne 0$ и $x\ne 5\text{.}$

Поэтому

$$y=2-\frac{1}{x},x\ne 0,x\ne 5.$$

2. Строим график. Это гипербола $y=2-\frac{1}{x}$ (график $y=-\frac{1}{x}\text{,}$ поднятый на $2$ вверх). Вертикальная асимптота $x=0\text{,}$ горизонтальная асимптота $y=2\text{.}$

Из области определения выколота ещё одна точка при $x=5\text{:}$ её ордината

$$y=2-\frac{1}{5}=1,8,$$

то есть точка $(5;1,8)$ на гиперболе выколота.

3. Прямая $y=m$ без общих точек с графиком. Прямая $y=m$ горизонтальна. Уравнение $2-\frac{1}{x}=m$ даёт $\frac{1}{x}=2-m\text{.}$

• Если $m=2\text{,}$ то $\frac{1}{x}=0$ — решений нет (горизонтальная асимптота графика). Общих точек нет.
• Если $m\ne 2\text{,}$ то $x=\frac{1}{2-m}$ — единственное значение. Оно даёт общую точку, кроме случая, когда это выколотая точка $x=5\text{:}$ $\frac{1}{2-m}=5\Rightarrow 2-m=0,2\Rightarrow m=1,8\text{.}$ При $m=1,8$ единственный кандидат $x=5$ выколот, поэтому общих точек нет.

При всех остальных $m$ прямая пересекает график ровно в одной точке.

Ответ: $m=1,8$ и $m=2\text{.}$