Задача №20026

Постройте график функции

$y=\frac{1}{2}\left(\left|\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right|+\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\right)\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощение формулы. Обозначим $A=\frac{x}{2}\text{,}$ $B=\frac{2}{x}$ (область определения $x\ne 0$). Тогда

$$y=\frac{1}{2}(|A-B|+A+B).$$

Воспользуемся тождеством $\frac{1}{2}(|A-B|+A+B)=\max (A,B)\text{.}$ Значит

$$y=\max \left(\frac{x}{2},\frac{2}{x}\right).$$

То есть на каждом участке график совпадает с той из двух линий $y=\frac{x}{2}$ (прямая) или $y=\frac{2}{x}$ (гипербола), которая выше.

Где какая ветвь. Сравним $\frac{x}{2}$ и $\frac{2}{x}\text{.}$

• При $x>0\text{:}$ $\frac{x}{2}\ge \frac{2}{x}⟺x^2\ge 4⟺x\ge 2\text{.}$ Значит на $(0;2]$ выше гипербола $y=\frac{2}{x}\text{,}$ а на $[2;+\infty )$ выше прямая $y=\frac{x}{2}\text{.}$ В точке $x=2$ обе дают $y=1\text{.}$
• При $x<0\text{:}$ умножая $\frac{x}{2}\ge \frac{2}{x}$ на $x<0$ (знак меняется), получаем $x^2\le 4\text{,}$ т.е. $-2\le x<0\text{.}$ Значит на $[-2;0)$ выше прямая $y=\frac{x}{2}\text{,}$ а на $(-\infty ;-2]$ выше гипербола $y=\frac{2}{x}\text{.}$ В точке $x=-2$ обе дают $y=-1\text{.}$

Описание графика.

Правая часть ($x>0$): гипербола $y=\frac{2}{x}$ спускается из $+\infty$ до точки $(2;1)\text{,}$ дальше прямая $y=\frac{x}{2}$ поднимается от $(2;1)$ к $+\infty \text{.}$ Получается «долина» с наименьшим значением $y=1$ в вершине $(2;1)\text{.}$

Левая часть ($x<0$): при $x\to 0^{-}$ прямая $y=\frac{x}{2}\to 0^{-}\text{;}$ она спускается до точки $(-2;-1)\text{,}$ дальше гипербола $y=\frac{2}{x}$ снова поднимается к $0^{-}$ при $x\to -\infty \text{.}$ Получается «долина» с наименьшим значением $y=-1$ в вершине $(-2;-1)\text{;}$ значение $y=0$ не достигается.

Число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

• $m>1\text{:}$ прямая пересекает правую долину в двух точках (одна на гиперболе $x\in (0;2)\text{,}$ одна на прямой $x>2$) — 2 точки.
• $m=1\text{:}$ касается вершины $(2;1)$ — 1 точка.
• $0\le m<1\text{:}$ не пересекает ни левую, ни правую часть — 0 точек.
• $-1<m<0\text{:}$ пересекает левую долину в двух точках (одна на прямой $x\in (-2;0)\text{,}$ одна на гиперболе $x<-2$) — 2 точки.
• $m=-1\text{:}$ касается вершины $(-2;-1)$ — 1 точка.
• $m<-1\text{:}$ 0 точек.

Ровно одна общая точка получается только в вершинах долин: при $m=1$ и при $m=-1\text{.}$

Ответ: $m=-1$ или $m=1\text{.}$