Задача №20025

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}-x^2-2x+1,& x⩾-3,\\ -x-2,& x<-3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

График. Функция задана на двух промежутках.

1) При $x⩾-3\text{:}$ $y=-x^2-2x+1$ — парабола ветвями вниз. Вершина: $x_0=-\frac{-2}{2\cdot (-1)}=-1\text{,}$ $y_0=-(-1{)}^2-2\cdot (-1)+1=2\text{,}$ то есть вершина $(-1;2)\text{.}$ В граничной точке $x=-3\text{:}$ $y=-9+6+1=-2\text{,}$ точка $(-3;-2)$ входит в график (закрашена). На $[-3;-1]$ парабола возрастает от $-2$ до $2\text{,}$ при $x⩾-1$ убывает от $2$ до $-\infty \text{.}$

2) При $x<-3\text{:}$ $y=-x-2$ — луч (часть прямой). При $x\to -3^{-}\text{:}$ $y\to -(-3)-2=1$ — точка $(-3;1)$ выколота; при убывании $x$ значения растут до $+\infty \text{.}$ Значит этот кусок даёт значения $y>1\text{.}$

Число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Парабола (при $x⩾-3$) пересекается с $y=m\text{:}$

• $m>2$ — $0$ точек;
• $m=2$ — $1$ точка (вершина);
• $-2⩽m<2$ — $2$ точки (по одной на возрастающей и убывающей части);
• $m<-2$ — $1$ точка.

Луч (при $x<-3$) пересекается с $y=m\text{:}$

• $m>1$ — $1$ точка ($x=-m-2<-3$);
• $m⩽1$ — $0$ точек.

Складываем и ищем, где сумма равна $2\text{:}$

• при $-2⩽m⩽1\text{:}$ парабола даёт $2\text{,}$ луч $0$ — итого $2\text{;}$
• при $1<m<2\text{:}$ парабола $2\text{,}$ луч $1$ — итого $3\text{;}$
• при $m=2\text{:}$ парабола $1$ (вершина), луч $1$ ($x=-4$) — итого $2\text{;}$
• при $m>2\text{:}$ $0+1=1\text{;}$ при $m<-2\text{:}$ $1+0=1\text{.}$

Проверка ключевых значений. $m=1\text{:}$ $-x^2-2x+1=1\Rightarrow x(x+2)=0\Rightarrow x=0,x=-2$ (обе $⩾-3$) — $2$ точки. $m=-2\text{:}$ $x^2+2x-3=0\Rightarrow x=-3,x=1$ — $2$ точки. $m=2\text{:}$ вершина $(-1;2)$ и точка луча $(-4;2)$ — $2$ точки. Всё согласовано.

Ответ: прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $-2⩽m⩽1$ и при $m=2\text{.}$