Задача №20023

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $61^{\circ }\text{.}$ Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81^{\circ }\text{.}$ Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ углы при большем основании равны: $\angle A=\angle D=61^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ACD\text{.}$ В нём $\angle ADC=61^{\circ }\text{,}$ а диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $\angle ACD=81^{\circ }\text{.}$ Тогда

$$\angle DAC=180^{\circ }-61^{\circ }-81^{\circ }=38^{\circ }.$$

Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$ Диагональ $AC$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны:

$$\angle BCA=\angle DAC=38^{\circ }.$$

Угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$ равен $\angle BCA=38^{\circ }\text{.}$

Ответ: 38.