Задача №20021

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Дано: параллелограмм $ABCD\text{,}$ диагональ $AC\text{;}$ $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности; $OA=25\text{,}$ расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно $14\text{,}$ расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно $7\text{.}$

1. Радиус вписанной окружности.
Точка $O$ — инцентр треугольника $ABC\text{,}$ значит она равноудалена от всех трёх его сторон $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CA\text{,}$ и это расстояние равно радиусу $r\text{.}$ Расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно $7\text{,}$ поэтому

В частности, расстояние от $O$ до прямой $BC$ тоже равно $7\text{.}$

2. Высота параллелограмма.
В параллелограмме $AD\parallel BC\text{.}$ Инцентр $O$ лежит внутри треугольника $ABC\text{,}$ то есть между стороной $BC$ и вершиной $A\text{;}$ прямая $AD$ проходит через $A$ параллельно $BC$ по другую сторону от $O\text{.}$ Значит $O$ лежит между параллельными прямыми $AD$ и $BC\text{,}$ и расстояние между ними равно сумме расстояний от $O$ до каждой из них:

Поскольку $A\in AD\text{,}$ это же число $h=21$ — расстояние от вершины $A$ до прямой $BC\text{,}$ то есть высота треугольника $ABC\text{,}$ опущенная на сторону $BC\text{.}$

3. Касательная из вершины $A\text{.}$
Пусть $K$ — точка касания окружности со стороной $AC\text{.}$ Тогда $OK\perp AC$ и $OK=r=7\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AKO$ по теореме Пифагора

$AK$ — длина касательной из вершины $A$ к вписанной окружности, поэтому $AK=p-BC\text{,}$ где $p$ — полупериметр треугольника $ABC\text{.}$ Отсюда

4. Сторона $BC\text{.}$
Площадь треугольника $ABC$ выразим двумя способами.

Через радиус вписанной окружности: $S_{ABC}=p\cdot r=7(BC+24).$

Через высоту к стороне $BC\text{:}$ $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h=\frac{1}{2}BC\cdot 21.$

Приравниваем:

5. Площадь параллелограмма.
Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому $S_{ABCD}=2S_{ABC}\text{.}$ Проще: площадь параллелограмма равна произведению основания $BC$ на высоту $h$ между прямыми $BC$ и $AD\text{:}$

Ответ: $1008$