Постройте график функции y=-2-(x+4)/(x^(2)+4x). Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек.

Область определения. Знаменатель x^(2)+4x=x(x+4) обращается в нуль при x=0 и x=-4, поэтому x!= 0, x!= -4. Упрощение формулы. При допустимых x y=-2-(x+4)/(x^(2)+4x)=-2-(x+4)/(x(x+4))=-2-(1)/(x). График. График функции y=-2-(1)/(x) — гипербола y=-(1)/(x), сдвинутая на 2 вниз. Её асимптоты: вертикальная x=0 и горизонтальная y=-2. Из графика нужно выколоть точку с x=-4, так как эта точка не входит в область определения исходной функции. Её ордината: y=-2-(1)/(-4)=-2+0,25=-1,75. Итак, график — гипербола y=-2-(1)/(x) с выколотой точкой (-4;-1,75). Значения m. Прямая y=m горизонтальна, поэтому она пересекает график ровно в тех точках, где функция принимает значение m. Уравнение -2-(1)/(x)=m равносильно (1)/(x)=-2-m, и оно имеет решение тогда и только тогда, когда -2-m!= 0, то есть при m!= -2. Значит, значение y=-2 функция не принимает — прямая y=-2 общих точек с графиком не имеет. Кроме того, из-за выколотой точки не достигается значение y=-1,75: единственным решением уравнения -2-(1)/(x)=-1,75 является x=-4, а эта точка исключена. При всех остальных m прямая y=m пересекает график. Ответ: m=-2 и m=-1,75.

m = -2; m = -1,75