Задача №19949

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B\text{,}$ в отношении $41:40\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=18\text{.}$

Пусть $BH$ — высота, проведённая из вершины $B$ к прямой $AC$ ($H$ — основание высоты на $AC\text{,}$ $\angle AHB=90^{\circ }$). Биссектриса угла $A$ пересекает эту высоту в точке $P\text{,}$ причём $BP:PH=41:40\text{.}$

Шаг 1. Применяем свойство биссектрисы в треугольнике $ABH\text{.}$

Точка $H$ лежит на прямой $AC\text{,}$ поэтому луч $AH$ совпадает с лучом $AC\text{,}$ и $\angle BAH=\angle BAC\text{.}$ Значит, биссектриса угла $BAC$ является одновременно биссектрисой угла $BAH$ в треугольнике $ABH\text{.}$ Она пересекает противоположную сторону $BH$ в точке $P\text{.}$

По свойству биссектрисы треугольника (она делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон):

Шаг 2. Находим косинус угла $A\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$) катет $AH$ — проекция $AB$ на $AC\text{:}$

Шаг 3. Находим синус угла $A\text{.}$

Шаг 4. Радиус описанной окружности по теореме синусов.

Сторона $BC$ лежит против угла $A\text{,}$ поэтому

Ответ: $R=41\text{.}$