Задача №19999

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Обозначим большее основание трапеции $a\text{,}$ меньшее $b\text{,}$ боковую сторону $c\text{,}$ высоту $h\text{.}$

1. Боковая сторона и сумма оснований.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны: $a+b=2c$ (боковые стороны равнобедренной трапеции равны). Тогда периметр

2. Высота.
Площадь трапеции $S=\frac{a+b}{2}\cdot h=45h\text{.}$ Из $45h=1620$ получаем $h=36\text{.}$

3. Основания.
Опустив высоты из вершин меньшего основания, для боковой стороны имеем

Вместе с $a+b=90$ получаем $a=72$ (большее), $b=18$ (меньшее основание).

4. Точка пересечения диагоналей.
Диагонали трапеции делят друг друга пропорционально основаниям. Треугольники, отсекаемые диагоналями на меньшем и большем основаниях, подобны с коэффициентом $\frac{b}{a}=\frac{18}{72}=\frac{1}{4}\text{.}$ Значит, расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований относятся так же: если $h_1$ — расстояние до меньшего основания, $h_2$ — до большего, то

Отсюда $h_2=4h_1\text{,}$ $5h_1=36\text{,}$ $h_1=7,2\text{.}$

Ответ: $7,2\text{.}$