Задача №19973

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B\text{,}$ в отношении $13:12\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=10\text{.}$

Пусть высота из вершины $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $H$ (то есть $BH\perp AC$), а биссектриса угла $A$ пересекает эту высоту в точке $P\text{.}$ По условию $BP:PH=13:12\text{,}$ считая от $B\text{.}$

Шаг 1. Выразим отрезки $BH$ и $PH$ через сторону $AB$ и угол $A\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (прямой угол при $H$) угол при вершине $A$ равен углу $A$ треугольника $ABC\text{,}$ поэтому

Луч $AP$ — биссектриса угла $A\text{,}$ значит $\angle PAH=\frac{A}{2}\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $APH$ (прямой угол при $H$)

Шаг 2. Найдём отношение $BP:PH\text{.}$

Так как $P$ лежит на отрезке $BH\text{,}$ то $BP=BH-PH\text{.}$ Используем $\tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}\text{:}$

Отсюда

Шаг 3. Найдём угол $A\text{.}$

По условию $\frac{BP}{PH}=\frac{13}{12}\text{,}$ значит

Шаг 4. Радиус описанной окружности.

Сторона $BC=a=10$ лежит против угла $A\text{.}$ По теореме синусов

Ответ: $13\text{.}$