Задача №19971

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
2. Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
3. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.

3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Проверяем каждое утверждение.

1. «В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.» По теореме Пифагора для катетов $a\text{,}$ $b$ и гипотенузы $c$ выполняется $c^2=a^2+b^2\text{,}$ откуда $c=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}$ При этом $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab>a^2+b^2=c^2\text{,}$ значит $a+b>c\text{.}$ Гипотенуза строго меньше суммы катетов. Утверждение ложно.

2. «Если в ромбе один из углов равен $90^{\circ }\text{,}$ то этот ромб является квадратом.» У ромба все стороны равны, а противоположные углы равны и сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{.}$ Если один угол $90^{\circ }\text{,}$ то и соседний $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ то есть все углы прямые. Ромб с равными сторонами и прямыми углами — квадрат. Утверждение истинно.

3. «Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.» Это прямое определение окружности: множество точек, равноудалённых от центра на расстояние, равное радиусу. Утверждение истинно.

Истинны утверждения 2 и 3.

Ответ: 23.