Задача №19376

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.

Проверим каждое утверждение.

1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Для сторон $a$ и $b$ с углом $\gamma$ между ними $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma \text{.}$ Так как $0<\sin \gamma \le 1\text{,}$ то $S\le \frac{1}{2}ab<ab\text{.}$ Утверждение истинно.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

По теореме о вписанном угле вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Утверждение ложно.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.

Это известная теорема: из точки, не лежащей на прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую (и притом единственный). Утверждение истинно.

Истинны утверждения 1 и 3.

Ответ: 13.