Задача №19963

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=11$ и $CD=41$ вписан
в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$
причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диагонали $AC$ и $BD$ — это хорды окружности, пересекающиеся в точке $K\text{.}$ Рассмотрим треугольник $BKC\text{.}$ Угол $BKC$ смежный с углом $AKB=60^{\circ }\text{,}$ поэтому

а значит сумма двух других его углов равна

Но $\angle KCB=\angle ACB$ — вписанный угол, опирающийся на хорду $AB\text{,}$ а $\angle KBC=\angle DBC$ — вписанный угол, опирающийся на хорду $CD\text{.}$ Обозначим

По теореме синусов (обобщённой) хорда равна произведению диаметра на синус вписанного угла, на неё опирающегося:

Отсюда $R\sin \phi =\frac{11}{2}\text{.}$ Распишем второе равенство, подставив $\psi =60^{\circ }-\phi \text{:}$

Подставляя $R\sin \phi =\frac{11}{2}\text{,}$ получаем

Теперь по основному тригонометрическому тождеству

Следовательно, $R=\sqrt{751}\text{.}$

Ответ: $R=\sqrt{751}\text{.}$