В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=7.
Так как ABCD — трапеция с основаниями BC∥AD, а боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC, то AB перпендикулярна и основанию AD. Значит, углы при вершинах A и B прямые: ∠A=∠B=90∘.
Пусть F — основание перпендикуляра, опущенного из точки E на прямую CD; тогда EF — искомое расстояние.
Углы между касательной и хордами. Прямая AB касается окружности в точке E, а EC и ED — хорды. По теореме об угле между касательной и хордой (он равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги):
∠(AB,ED)=∠ECD,∠(AB,EC)=∠EDC.Выражаем эти углы из прямоугольных треугольников.
Точка D лежит на прямой AD⊥AB, поэтому треугольник EAD прямоугольный с прямым углом при A, и угол между AB и хордой ED — это угол ∠AED, для которого
sin∠AED=EDAD=ED8.Следовательно, sin∠ECD=ED8.
Точка C лежит на прямой BC⊥AB, поэтому треугольник EBC прямоугольный с прямым углом при B, и угол между AB и хордой EC — это угол ∠BEC, для которого
sin∠BEC=ECBC=EC7.Следовательно, sin∠EDC=EC7.
Считаем расстояние двумя способами. В треугольнике ECD высота из E на сторону CD:
EF=EC⋅sin∠ECD=EC⋅ED8=ED8EC, EF=ED⋅sin∠EDC=ED⋅EC7=EC7ED.Перемножаем оба равенства:
EF2=ED8EC⋅EC7ED=8⋅7=56.Отсюда
EF=56=214.Заметим, что ответ EF2=AD⋅BC не зависит от высоты трапеции AB.
Проверка (координатами). Пусть A=(0,0), D=(8,0), B=(0,h), C=(7,h). Окружность касается прямой AB (оси x=0) в точке E=(0,e), значит её центр (r,e). Из условия прохождения через D: e2=16r−64; через C получаем e2−16he+8h2−56=0, откуда e−8h=±56h2+1. Прямая CD: hx+y−8h=0, и расстояние от E до неё равно h2+1∣e−8h∣=56=214 при любом h. Совпадает.
Ответ: 214.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ