Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Задача №19956: Текстовые задачи

Пусть $v$ (км/ч) — собственная скорость баржи. Тогда скорость по течению равна $v + 5,$ а против течения — $v - 5$ (км/ч).

Время на весь путь складывается из времени по течению и против течения:

\frac{48}{v + 5} + \frac{42}{v - 5} = 5.

Умножим обе части на $(v + 5) (v - 5) = v^{2} - 25$ (при $v > 5$ знаменатели положительны):

48 (v - 5) + 42 (v + 5) = 5 (v^{2} - 25) .

Раскроем скобки:

48 v - 240 + 42 v + 210 = 5 v^{2} - 125,

90 v - 30 = 5 v^{2} - 125.

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $5 :$

5 v^{2} - 90 v - 95 = 0, v^{2} - 18 v - 19 = 0.

Дискриминант: $D = 1 8^{2} + 4 \cdot 19 = 324 + 76 = 400,$ $D = 20 .$

v = \frac{18 \pm 20}{2} .

Отсюда $v = 19$ или $v = - 1 .$ Скорость положительна, поэтому $v = 19$ (при этом $v - 5 = 14 > 0$ — условие движения против течения выполнено).

Ответ: $19$ км/ч.