Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Задача №18810: Текстовые задачи

Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч ( $x > 5$ ).

Тогда скорость по течению равна $x + 5$ км/ч, а против течения — $x - 5$ км/ч.

Время движения по течению: $\frac{32}{x + 5}$ ч, время движения против течения: $\frac{24}{x - 5}$ ч. По условию весь путь занял 4 часа:

\frac{32}{x + 5} + \frac{24}{x - 5} = 4.

Умножим обе части на $(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 25$ (при $x > 5$ это число положительно):

32 (x - 5) + 24 (x + 5) = 4 (x^{2} - 25),

32 x - 160 + 24 x + 120 = 4 x^{2} - 100,

56 x - 40 = 4 x^{2} - 100.

Приведём к стандартному виду и разделим на 4:

4 x^{2} - 56 x - 60 = 0 ⟺ x^{2} - 14 x - 15 = 0.

Дискриминант: $D = 196 + 60 = 256,$ $D = 16,$ откуда

x_{1} = \frac{14 + 16}{2} = 15, x_{2} = \frac{14 - 16}{2} = - 1.

Корень $x_{2} = - 1$ не подходит по смыслу задачи (скорость положительна и больше 5).

Проверка: $\frac{32}{20} + \frac{24}{10} = 1, 6 + 2, 4 = 4$ — верно.

Ответ: 15 км/ч.