Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=35.
Из условия cos∠BAC=35 находим синус этого угла:
sin∠BAC=1−95=32.Обозначим α=∠BAC, тогда cosα=35, sinα=32, tanα=cosαsinα=52.
1. Длина касательной (теорема о касательной и секущей). Пусть T — точка касания окружности с лучом AB. Прямая AC — секущая, пересекающая окружность в точках M и N. По теореме о касательной и секущей, проведённых из точки A:
AT2=AM⋅AN=18⋅40=720,AT=720=125.2. Обозначения для центра. Пусть O — центр окружности, R — искомый радиус. Перпендикуляр из O к хорде MN попадает в её середину P, поэтому
AP=2AM+AN=218+40=29,OP⊥AC.Кроме того, радиус в точку касания перпендикулярен касательной: OT⊥AB, OT=R.
3. Проекция точки P на AB. Опустим из P перпендикуляр PH на прямую AB. В прямоугольном треугольнике APH с углом α при вершине A:
AH=APcosα=29⋅35=3295,PH=APsinα=29⋅32=358.4. Связь между O и P. Точка O лежит на перпендикуляре к AB, восставленном в точке T. Опустим из P перпендикуляр PK на прямую OT; тогда PKTH — прямоугольник, и
PK=HT=AT−AH=125−3295=3365−295=375.В прямоугольном треугольнике OKP (прямой угол при K) сторона OK направлена вдоль OT, то есть OK⊥AB, а OP⊥AC. Значит, угол между OK и OP равен углу между AB и AC, то есть ∠KOP=α. Отсюда
tanα=OKPK ⇒ OK=tanαPK=375⋅25=67⋅5=635.5. Радиус. Точка K находится на высоте PH над AB, а точка O — на высоте R, причём OK=PH−R. Тогда
PH−R=635 ⇒ R=358−635=6116−35=681=227=13,5.Проверка. При R=13,5 расстояние от O до прямой AC равно OP=R2−MP2=13,52−112=182,25−121=61,25, и все условия (касание AB, прохождение через M и N) выполнены.
Ответ: 13,5.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ