Задача №19939

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину
отрезка $EF\text{,}$ если $AD=45\text{,}$ $BC=27\text{,}$ $CF:DF=5:4\text{.}$

Прямая $EF$ параллельна основаниям $BC=27$ и $AD=45$ и пересекает боковую сторону $CD$ в точке $F\text{,}$ где $CF:DF=5:4\text{,}$ значит $CF=\frac{5}{9}CD\text{,}$ $DF=\frac{4}{9}CD\text{.}$

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB\text{;}$ она пересекает $EF$ в точке $P\text{,}$ а основание $AD$ — в точке $H\text{.}$ Тогда $BCHA$ и $BCPE$ — параллелограммы, поэтому $EP=BC=27$ и $AH=BC=27\text{,}$ а $HD=AD-AH=45-27=18\text{.}$

В треугольнике $CHD$ отрезок $PF\parallel HD\text{,}$ и по теореме о пропорциональных отрезках (подобие $△CPF\sim △CHD$):

Следовательно,

Проверка (линейная интерполяция длины отрезка между основаниями). Длина параллельного основаниям отрезка меняется линейно вдоль боковой стороны от $BC$ (у вершины $C$) до $AD$ (у вершины $D$):

Оба способа дают один результат.

Ответ: $37\text{.}$