Задача №19937

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть биссектриса $BE$ ($E\in AC$) и медиана $AD$ ($D$ — середина $BC$) пересекаются в точке $P\text{;}$ по условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=24\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный.
В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ — часть биссектрисы угла $B\text{,}$ значит $BP$ делит угол $ABD$ пополам. Но $BP\perp AD\text{,}$ то есть $BP$ ещё и высота этого треугольника. Биссектриса, совпадающая с высотой, бывает только в равнобедренном треугольнике, поэтому

Так как $D$ — середина $BC\text{,}$ то $BD=\frac{1}{2}BC\text{,}$ откуда

Одновременно $BP$ — медиана треугольника $ABD\text{,}$ значит $P$ — середина $AD$ и

Шаг 2. Точка $E$ на стороне $AC\text{.}$
По свойству биссектрисы $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}\text{,}$ поэтому

Шаг 3. Отношение, в котором $P$ делит $BE\text{.}$
Применим теорему Менелая к треугольнику $BEC$ и секущей $A-P-D$ (точка $A$ лежит на прямой $EC\text{,}$ точка $P$ — на $BE\text{,}$ точка $D$ — на $BC$):

Здесь $\frac{EA}{AC}=\frac{1}{3}\text{,}$ а $\frac{CD}{DB}=1$ (так как $D$ — середина $BC$). Значит $\frac{BP}{PE}=3\text{,}$ и при $BE=24$ получаем

Шаг 4. Стороны треугольника.
В прямоугольном треугольнике $ABP$ (прямой угол при $P$):

Тогда $BC=2AB=12\sqrt{13}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $APE$ (прямой угол при $P$):

Значит $AC=3AE=18\sqrt{5}\text{.}$

Проверка. Медиана: $A{D}^2=\frac{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}{4}=\frac{2\cdot 468+2\cdot 1620-1872}{4}=\frac{2304}{4}=576\text{,}$ то есть $AD=24\text{.}$ Биссектриса: $B{E}^2=AB\cdot BC-AE\cdot EC=936-360=576\text{,}$ то есть $BE=24\text{.}$ Оба условия выполнены.

Ответ: $AB=6\sqrt{13}\text{,}$ $BC=12\sqrt{13}\text{,}$ $AC=18\sqrt{5}\text{.}$