Задача №19919

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B\text{,}$ в отношении $5:4\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=12\text{.}$

Пусть высота из вершины $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $H\text{,}$ тогда $\angle AHB=90^{\circ }\text{.}$ Биссектриса угла $A$ пересекает отрезок $BH$ в точке $P\text{,}$ причём $BP:PH=5:4\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABH\text{.}$ Поскольку точка $H$ лежит на прямой $AC\text{,}$ угол $\angle BAH$ совпадает с углом $A$ треугольника $ABC\text{,}$ и отрезок $AP$ является биссектрисой этого угла в треугольнике $ABH\text{,}$ проведённой к стороне $BH\text{.}$

По свойству биссектрисы треугольника (она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон):

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (прямой угол при $H$) катет $AH$ прилежит к углу $A\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза, поэтому

Тогда

Приравнивая к заданному отношению:

Так как угол $A$ — угол треугольника,

По теореме синусов радиус описанной окружности

откуда $R=10\text{.}$

Ответ: $10\text{.}$