Задача №19920

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Обозначим угол $\angle BAC$ треугольника $ABC$ через $A\text{,}$ угол $\angle BCA$ через $C\text{.}$

Шаг 1. Расстояние от $O$ до прямой $AC$ — это радиус вписанной окружности.
Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{,}$ а $AC$ — сторона этого треугольника. Значит, расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно радиусу вписанной окружности: $r=3\text{.}$

Шаг 2. Угол $A$ треугольника.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $A\text{,}$ поэтому луч $AO$ делит угол $BAC$ пополам. Опустим из $O$ перпендикуляр на $AC$ (его длина $r=3$). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AO=5$ и катетом $3\text{:}$

Отсюда

Шаг 3. Угол между $AC$ и стороной $AD\text{.}$
Расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно $4\text{.}$ Значит, для угла $\angle OAD$ между $AO$ и $AD\text{:}$ $\sin \angle OAD=\frac{4}{5}\text{,}$ $\cos \angle OAD=\frac{3}{5}\text{.}$ Так как луч $AC$ лежит между $AO$ и $AD\text{,}$ то $\angle CAD=\angle OAD-\angle OAC\text{,}$ где $\angle OAC=\frac{A}{2}\text{.}$ Тогда

Шаг 4. Треугольник $ABC$ прямоугольный.
В параллелограмме $AD\parallel BC\text{,}$ а $AC$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle BCA=\angle CAD\text{.}$ Значит, $\sin C=\frac{7}{25}\text{,}$ $\cos C=\frac{24}{25}\text{.}$ Тогда для угла $B\text{:}$

Следовательно, $\angle B=90^{\circ }$ — треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AC\text{.}$

Шаг 5. Стороны треугольника.
Пусть $AC=h\text{.}$ Тогда катеты $AB=h\cos A=\frac{7h}{25}$ и $BC=h\cos C=\frac{24h}{25}\text{.}$ Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности

Из $r=3$ получаем $h=25\text{,}$ то есть $AC=25\text{,}$ $AB=7\text{,}$ $BC=24\text{.}$

Шаг 6. Площадь параллелограмма.
Площадь прямоугольного треугольника $ABC\text{:}$

Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому

Проверка. Положив $B=(0,0)\text{,}$ $A=(7,0)\text{,}$ $C=(0,24)\text{,}$ получаем центр вписанной окружности $O=(3,3)\text{;}$ тогда $OA=\sqrt{16+9}=5\text{,}$ расстояние до $AC$ равно $3\text{,}$ а прямая $AD$ (через $A=(7,0)$ параллельно $BC$) — это $x=7\text{,}$ расстояние до неё $|3-7|=4\text{.}$ Все три данных расстояния $5,4,3$ совпадают.

Ответ: $168\text{.}$