Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника ABC.
Обозначения. Пусть биссектриса BE пересекает медиану AD в точке K; точка D — середина BC.
Шаг 1. Треугольник ABD равнобедренный. Так как D лежит на стороне BC, луч BE служит биссектрисой угла ABD в треугольнике ABD. По условию BK⊥AD, то есть биссектриса из вершины B перпендикулярна противоположной стороне AD. Биссектриса, совпадающая с высотой, — признак равнобедренного треугольника, поэтому BA=BD. Значит AB=BD=21BC, откуда BC=2AB.
В равнобедренном треугольнике эта же прямая — медиана, поэтому K — середина AD: AK=KD=2AD=16.
Шаг 2. Уравнения на стороны. Обозначим AB=m, тогда BC=2m; пусть AC=b.
Медиана AD к стороне BC:
AD2=42AC2+2AB2−BC2=42b2+2m2−4m2=2b2−m2.Из AD=32 получаем b2−m2=2048.
Биссектриса BE к стороне AC (формула длины биссектрисы, AE:EC=AB:BC=1:2):
BE2=AB⋅BC(1−(AB+BCAC)2)=2m2(1−9m2b2)=2m2−92b2.Из BE=32 получаем 2m2−92b2=1024.
Шаг 3. Решение системы. Из первого уравнения m2=b2−2048. Подставим во второе:
2(b2−2048)−92b2=1024 ⇒ 916b2=5120 ⇒ b2=2880.Тогда m2=2880−2048=832, и
AB=832=813,BC=2832=1613,AC=2880=245.Проверка. AD2=22880−832=1024 и BE2=2⋅832−92⋅2880=1664−640=1024 — оба равны 322. Кроме того BD=832=AB, значит треугольник ABD равнобедренный и BE⊥AD — условие выполнено.
Ответ: AB=813, BC=1613, AC=245.