Задача №19917

Постройте график функции

$y=x^2+3x-3|x+2|+2\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскрываем модуль $|x+2|$ по двум случаям.

1) При $x\ge -2$ имеем $|x+2|=x+2\text{:}$

$$y=x^2+3x-3(x+2)+2=x^2-4.$$

Это парабола с вершиной $(0;-4)\text{;}$ в точке $x=-2$ значение $y=0\text{.}$

2) При $x<-2$ имеем $|x+2|=-(x+2)\text{:}$

$$y=x^2+3x+3(x+2)+2=x^2+6x+8=(x+2)(x+4).$$

Это парабола с вершиной $(-3;-1)\text{;}$ в точке $x=-2$ значение $y=0$ (графики стыкуются).

Строим график (слева направо):

• при $x<-2$ — ветвь $y=x^2+6x+8\text{:}$ приходит из $+\infty \text{,}$ опускается в локальный минимум $(-3;-1)$ и поднимается к точке $(-2;0)\text{;}$
• при $x\ge -2$ — ветвь $y=x^2-4\text{:}$ от точки $(-2;0)$ опускается в минимум $(0;-4)$ и уходит в $+\infty \text{.}$

Получается характерная точка «стыка» $(-2;0)$ — локальный максимум, слева от него минимум $-1\text{,}$ справа минимум $-4\text{.}$

Считаем число точек пересечения с прямой $y=m\text{:}$

• $m>0$ — $2$ точки;
• $m=0$ — $3$ точки: $y=x^2+6x+8=0$ даёт $x=-4$ (в области $x<-2$), $y=x^2-4=0$ даёт $x=-2$ и $x=2\text{;}$ итого $(-4;0),(-2;0),(2;0)\text{;}$
• $-1<m<0$ — $4$ точки;
• $m=-1$ — $3$ точки: $x^2+6x+8=-1\Rightarrow (x+3{)}^2=0\Rightarrow x=-3$ (одна точка — касание вершины), а $x^2-4=-1\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$ (обе в области $x\ge -2$);
• $-4<m<-1$ — $2$ точки;
• $m=-4$ — $1$ точка; $m<-4$ — нет точек.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=-1\text{.}$

Ответ: $m=-1$ или $m=0\text{.}$