Задача №19912

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $36^{\circ }\text{.}$ Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Пусть $ABCD$ — ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам, поэтому $\angle AOB=90^{\circ }\text{.}$

Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB\text{.}$ Тогда $OH$ — высота прямоугольного треугольника $AOB\text{,}$ проведённая из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB\text{.}$

Перпендикуляр $OH$ делит прямой угол $AOB$ на два угла: $\angle AOH$ и $\angle HOB\text{,}$ причём $\angle AOH+\angle HOB=90^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AOH$ ($\angle AHO=90^{\circ }$) имеем $\angle AOH=90^{\circ }-\angle OAH\text{,}$ а угол $\angle OAH=\angle OAB$ равен половине угла $A$ ромба (диагональ — биссектриса). Значит, углы, которые $OH$ образует с двумя диагоналями, равны $\frac{\angle A}{2}$ и $90^{\circ }-\frac{\angle A}{2}\text{.}$

По условию один из этих углов равен $36^{\circ }\text{.}$ Тогда либо $\frac{\angle A}{2}=36^{\circ }\text{,}$ откуда $\angle A=72^{\circ }\text{,}$ либо $90^{\circ }-\frac{\angle A}{2}=36^{\circ }\text{,}$ откуда $\frac{\angle A}{2}=54^{\circ }$ и $\angle A=108^{\circ }\text{.}$

В первом случае острый угол ромба равен $72^{\circ }\text{;}$ во втором угол $108^{\circ }$ — тупой, а смежный с ним острый угол ромба равен $180^{\circ }-108^{\circ }=72^{\circ }\text{.}$ В обоих случаях острый угол ромба составляет $72^{\circ }\text{.}$

Ответ: 72.