Задача №19589

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 60, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,4\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам.

Поэтому $OC=\frac{AC}{2}=\frac{60}{2}=30\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $BOC$ (угол $O$ прямой) тангенс угла $BCA$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC}.$$

Отсюда $BO=OC\cdot \mathrm{tg}\angle BCA=30\cdot 0,4=12\text{,}$ а вторая диагональ $BD=2\cdot BO=24\text{.}$

Площадь ромба через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 60\cdot 24=720.$$

Ответ: $720\text{.}$