Задача №19484

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 20, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,1\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Значит $OC=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10\text{,}$ а треугольник $BOC$ прямоугольный с прямым углом при $O\text{.}$

Угол $\angle BCA$ — это острый угол этого треугольника при вершине $C\text{,}$ поэтому

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC}=\frac{BO}{10}=0,1\Rightarrow BO=1.$$

Вторая диагональ $BD=2\cdot BO=2\text{.}$

Площадь ромба через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 2=20.$$

Ответ: $20\text{.}$