Задача №19904

Постройте график функции

$y=\frac{(0,25x^2+x)\cdot |x|}{x+4}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

1. Упростим формулу. Разложим числитель на множители:

$$0,25x^2+x=0,25x(x+4).$$

Тогда

$$y=\frac{0,25x(x+4)\cdot |x|}{x+4}.$$

При $x\ne -4$ множитель $x+4$ сокращается:

$$y=0,25x|x|,x\ne -4.$$

2. Раскроем модуль. Получаем две ветви:

• при $x\ge 0\text{:}$ $y=0,25x^2$ — правая ветвь параболы, идущая вверх;
• при $x<0\text{:}$ $y=0,25x\cdot (-x)=-0,25x^2$ — ветвь параболы, идущая вниз.

Обе ветви сходятся в начале координат $(0;0)\text{,}$ график — гладкая нечётная кривая, строго возрастающая на всей числовой прямой (при $x<0$ производная $-0,5x>0\text{,}$ при $x>0$ производная $0,5x>0$).

3. Учтём выколотую точку. Точка $x=-4$ исключена из области определения. При $x=-4\text{:}$

$$y=0,25\cdot (-4)\cdot |-4|=0,25\cdot (-4)\cdot 4=-4.$$

Значит, на графике выколота точка $(-4;-4)\text{.}$

4. Найдём значения $m\text{.}$ Так как функция строго возрастает, каждая горизонтальная прямая $y=m$ пересекает кривую ровно в одной точке. Единственное значение $y\text{,}$ которое не достигается из-за выколотой точки, — это $y=-4$ (оно достигалось только при $x=-4$).

Поэтому прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек ровно при $m=-4\text{.}$

Ответ: $m=-4\text{.}$