Задача №19896

Постройте график функции $y=x^2-5x-5|x-2|+6$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль. Функция $y=x^2-5x-5|x-2|+6$ задаётся по-разному в зависимости от знака $x-2\text{.}$

1) При $x\ge 2\text{:}$ $|x-2|=x-2\text{,}$ поэтому

Это парабола ветвями вверх с вершиной $x=5\text{,}$ $y=5^2-10\cdot 5+16=-9\text{,}$ то есть вершина $(5;-9)\text{.}$ При $x=2$ получаем $y=4-20+16=0\text{.}$

2) При $x<2\text{:}$ $|x-2|=2-x\text{,}$ поэтому

Это парабола ветвями вверх с вершиной $(0;-4)\text{;}$ при $x\to 2$ значение $y\to 0$ (точка $(2;0)$ принадлежит правой части, поэтому график непрерывен).

Итог — график. Слева от $x=2$ — часть параболы $y=x^2-4$ (минимум $-4$ в точке $(0;-4)$), справа — часть параболы $y=x^2-10x+16$ (минимум $-9$ в точке $(5;-9)$). Обе части стыкуются в точке $(2;0)\text{.}$

Число общих точек с прямой $y=m\text{.}$ Считаем, сколько корней даёт каждая ветвь.

Левая ветвь ($x<2$): $x^2-4=m\Rightarrow x=\pm \sqrt{m+4}\text{;}$ условие $x<2$ выполняется для $-\sqrt{m+4}$ всегда (при $m\ge -4$), а для $+\sqrt{m+4}$ только при $m<0\text{.}$

Правая ветвь ($x\ge 2$): $x^2-10x+16=m\Rightarrow x=5\pm \sqrt{m+9}\text{;}$ корень $5+\sqrt{m+9}$ годится при $m\ge -9\text{,}$ а $5-\sqrt{m+9}\ge 2$ только при $m\le 0\text{.}$

Сведём число точек в таблицу:

• $m<-9$ — 0 точек;
• $m=-9$ — 1 точка (вершина $(5;-9)$);
• $-9<m<-4$ — 2 точки;
• $m=-4$ — 3 точки (вершина $(0;-4)$ + две точки правой ветви);
• $-4<m<0$ — 4 точки;
• $m=0$ — 3 точки (точки $(-2;0)\text{,}$ $(2;0)\text{,}$ $(8;0)$);
• $m>0$ — 2 точки.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-4$ и $m=0\text{.}$

Ответ: $m=-4$ или $m=0\text{.}$