Задача №19893

Постройте график функции

$y=|x^2+2x-3|\text{.}$

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Рассмотрим подмодульное выражение $f(x)=x^2+2x-3\text{.}$ Разложим на множители: $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\text{,}$ значит его нули $x=-3$ и $x=1\text{.}$

Вершина параболы $y=f(x)\text{:}$ $x_0=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1\text{,}$ $y_0=(-1{)}^2+2\cdot (-1)-3=-4\text{.}$ То есть вершина в точке $(-1;-4)\text{,}$ ветви вверх.

Теперь строим график $y=|f(x)|=|x^2+2x-3|\text{:}$ часть параболы, лежащую ниже оси $Ox$ (при $-3<x<1\text{,}$ где $f(x)<0$), симметрично отражаем вверх относительно оси $Ox\text{;}$ часть при $x\le -3$ и $x\ge 1$ (где $f(x)\ge 0$) остаётся на месте.

При отражении вершина $(-1;-4)$ переходит в точку $(-1;4)$ — это вершина «горба». В итоге график состоит из двух восходящих внешних ветвей (при $x\le -3$ и $x\ge 1$), касающихся оси $Ox$ в точках $(-3;0)$ и $(1;0)\text{,}$ и «горба» между ними с максимумом $4$ в точке $(-1;4)\text{.}$

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение $y=c\text{.}$ Подсчитаем число общих точек в зависимости от $c\text{:}$

• $c<0$ — точек нет ($0$);
• $c=0$ — две точки: $(-3;0)$ и $(1;0)\text{;}$
• $0<c<4$ — четыре точки: две на «горбе» и две на внешних ветвях;
• $c=4$ — три точки: вершина горба $(-1;4)$ и две на внешних ветвях;
• $c>4$ — две точки (только внешние ветви).

Наибольшее число общих точек достигается при $0<c<4$ и равно $4\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$