Задача №19890

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC\text{,}$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN\text{,}$ если $MN=17\text{,}$ $AC=51\text{,}$ $NC=32\text{.}$

Так как прямая $MN$ параллельна стороне $AC\text{,}$ то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ (по двум углам: угол $B$ общий, а углы $BMN$ и $BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:

Сторона $BC$ треугольника $BAC$ соответствует стороне $BN$ треугольника $BMN\text{,}$ поэтому

Точка $N$ лежит на стороне $BC\text{,}$ значит $BC=BN+NC\text{.}$ Обозначим $BN=x\text{,}$ тогда $BC=x+32$ и

Отсюда $3x=x+32\text{,}$ то есть $2x=32$ и $x=16\text{.}$

Проверка. $BN=16\text{,}$ $NC=32\text{,}$ тогда $BC=48$ и $\frac{BN}{BC}=\frac{16}{48}=\frac{1}{3}=\frac{17}{51}=\frac{MN}{AC}$ — совпадает.

Ответ: $16\text{.}$